L'espérance mathématique, notée $E(X)$ ou $\mu_X$, constitue la mesure fondamentale de tendance centrale pour une variable aléatoire. Elle représente la valeur « moyenne à long terme » obtenue au cours de répétitions multiples d'une expérience. Physiquement, elle correspond au centre de masse d'une distribution de probabilité, calculée comme la somme pondérée par les probabilités de toutes les issues possibles.
Définitions formelles
Pour les variables aléatoires discrètes, nous définissons la valeur attendue à partir de la fonction de masse de probabilité (FMP) :
Définition 3.1.1
Soit $X$ une variable aléatoire discrète. La valeur attendue est :
$$E(X) = \sum_{x \in R^1} x P(X = x) = \sum_{x \in R^1} x p_X(x)$$
Définition 3.1.2
Si $X$ prend des valeurs distinctes $x_1, x_2, \dots$ avec les probabilités $p_i$, alors :
$$E(X) = \sum_i x_i p_i$$
La loi de l'« statisticien inconscient » (LOTUS)
Pour trouver l'espérance d'une variable transformée $g(X)$, il n'est pas nécessaire de dériver d'abord la densité de $g(X)$.
Théorème 3.1.1 (LOTUS)
Pour toute fonction $g$, la valeur attendue de $g(X)$ est la somme des valeurs de la fonction pondérées par les probabilités initiales :
$E(g(X)) = \sum_{x} g(x) P(X=x)$
Propriétés fondamentales
- Linéarité (Théorème 3.1.2) : $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$. Cette propriété reste valable même si $X$ et $Y$ sont dépendantes !
- Monotonie (Théorème 3.1.4) : Si $X(s) \le Y(s)$ pour toutes les issues $s$, alors $E(X) \le E(Y)$.
- Indépendance (Théorème 3.1.3) : Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $E(XY) = E(X)E(Y)$.
Exemple 3.1.6 : Variables indicatrices
Pour une fonction indicatrice $I_A$, où $X=1$ si $A$ se produit et $0$ sinon :
$E(I_A) = (1)P(A) + (0)P(A^c) = P(A)$